Le verbe démontrer signifie « prouver d’une manière convaincante » : Démontrer l’égalité de deux triangles. On lui a démontré qu’il avait tort. Démontrer peut aussi signifier « montrer de façon incontestable ; révéler, dénoncer » : Ces faits démontrent la nécessité d’une réforme. Son trouble démontre sa mauvaise foi. Dans tous les cas, il a un complément à caractère abstrait.

Démonter signifie, entre autres sens, défaire pièce à pièce ce qui formait un tout, ce qui avait été préalablement monté : Démonter une pendule, une tente. Cette armoire se démonte facilement. De manière figurée, on dit aussi démonter les ressorts d’une intrigue, d’une machination, comme on dit démonter les ressorts d’une montre, et non démontrer les ressorts d’une machination.