Ces deux locutions verbales sont synonymes, mais aspirer vers, plus littéraire, est moins employé qu’aspirer à. De plus, aspirer vers ne peut se construire qu’avec un nom, tandis qu’aspirer à peut se construire avec un nom ou un infinitif. On lit ainsi dans Cinna, de Corneille (acte II, scène 1) :

« Et comme notre esprit, jusqu’au dernier soupir,
Toujours vers quelque objet pousse quelque désir,
Il se ramène en soi, n’ayant plus où se prendre,
Et, monté sur le faîte, il aspire à descendre. »

Le tour il aspire vers descendre (sans même noter le fait que la syllabe -re, à la fin d’aspire, serait placée devant une voyelle et devrait être prononcée, ce qui fausserait le vers) serait incorrect.